Teoria dos Conjuntos

Tudo sobre a teoria dos conjuntos você encontra resumido nesta apostila.

Conjunto

Não existe uma definição de conjunto, mas existe uma idéia que está associada à coleção de objetos, reunião ou grupo de pessoas etc.

Notação e representação

* Listagem dos elementos
Ex: Conjunto dos números inteiros múltiplos de três:
D = {...;-9;-6;-3;0;3;6;9;...}.

* Por meio de uma propriedade comum somente a seus elementos.
Ex: Conjunto dos números inteiros múltiplos de três:
D = {x / x = 3 k ; k ? Z }

* Graficamente pelo uso do diagrama de Euler-Venn
Diagrama de Euler-Venn

 

Igualdade de Conjuntos

Dois conjuntos são iguais quando possuírem exatamente os mesmos elementos, independente da ordem.
Ex: {1,2,3}={2,3,1}={3,2,1}{1,1,1,1,3,2,2}={1,2,3}
Nota: A repetição dos elementos em um conjunto é irrelevante.

Conjuntos especiais

  1. Conjunto vazio: não possui nenhum elemento.
    Notação: { } ou Ø
    Ex: A={x ? N/ x e ´primo menor que 2}={ }
    Cuidado: {Ø}={{}}?conjunto unitário.
  2. Conjunto Universo (U) É o conjunto que possui todos os elementos necessários para a realização de um determinado estudo.

Relações entre elementos e conjuntos(Relação de pertinência)

Utilizamos dois sinais matemáticos. Se o elemento a estiver presente em A dizemos que a ? A , caso contrário, dizemos que a ? A .

Relação de inclusão

É´ uma relação que se estabelece entre elemento e conjunto.
Notação:

relação de inclusão - tabela


DICA:
A relação "está contido" ou a sua negação é utilizada do menor para o maior conjunto.
A relação "contém" ou a sua negação é utilizada do maior para o menor conjunto

Atenção: Um conjunto dentro de outro conjunto passa a ser elemento.
* {1,2}?{1,6,{1,2}}

Subconjuntos

Se A? B, dizemos que A é SUBCONJUNTO de B.

Atenção:
  • O número de subconjuntos N, de um conjunto A , é dado pela fórmula N = 2n(A)
  • O conjunto vazio é subconjunto (está contido) de qualquer outro conjunto dado
    Ø ? A , para qualquer conjunto A
  • Qualquer conjunto é subconjunto de si mesmo
    A ? A,para qualquer conjunto A

Conjunto das partes de A ou conjunto dos subconjuntos

O conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto A é chamado conjunto das partes de A, P(A), ou conjunto dos subconjuntos de A.
Exemplo: Sendo A={3,5}, determinar P(A)
P(A) ={Ø,{3},{5},{3,5}}

Observação: Ø ? P(A) e também Ø ? P(A)

Atenção: Se o conjunto A tem n elementos, então P(A) tem 2n elementos

 

Operações entre Conjuntos

  1. União (ou Reunião) de Conjuntos A ? B = {x / x ? A ou x ? B}
    Observação:
    * A ? f = A qualquer que seja o conjunto A
    * A ? A = A qualquer que seja A
    * Se B ? A, então A ? B = A
  2. Intersecção de Conjuntos
    A n B = {x / x ? A e x ? B}
    Observação:
    * A n f = f, qualquer que seja o conjunto A
    * A n A = A, qualquer que seja o conjunto A
    * Se B ? A,então A n B = B.
    * Quando A n B = f , os conjuntos são chamados disjuntos (sem elementos em comum)
  3. Conjunto Diferença
    A - B = {x / x ? A e x ? B}
    Observação:
    * Se A &ne B, então A - B ? B - A, ?A, ?B

    * Diferença Simétrica
    A ? B = (A – B) ? (B – A)
  4. Complementar de um Conjunto em relação ao outro
    Complementar de um Conjunto em relação ao outro - fórmula

    Atenção: Complementar de um Conjunto em relação ao Conjunto Universo
    Complementar de um Conjunto em relação ao outro - fórmula

Números de Elementos da União de Conjuntos

  1. Com dois conjuntos sendo:
    A n B = Ø ? n(A ? B) = n(A) + n(B)
    A n B &ne Ø ? n(A ? B) = n(A) + n(B) – n(A n B)

    DICA: n(A - B) = n(A) - n(A n B)
  2. Com três conjuntos sendo:
    A n B n C ? Ø ? n(A?B?C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A n B) – n(A n C) – n(B n C) +n(A n B n C)
    Observação: Uma das formas práticas de resolver problemas com conjuntos é a representação por meio de diagramas

 

Conjuntos Numéricos

  1. Conjunto dos Números Naturais

  2. Conjunto dos números naturais

    * Conjunto dos Números Naturais não-nulos
    Conjunto dos números naturais

    Observação:
    Conjunto dos números naturais
  3. Conjunto dos Números Inteiros

    • Conjunto dos inteiros não nulos (Conjunto dos inteiros não-nulos)
    • Conjunto dos inteiros não negativos (Conjunto dos inteiros não-negativos)
    • Conjunto dos inteiros positivos (Conjunto dos inteiros positivos)
    • Conjunto dos inteiros não positivos (Conjunto dos inteiros não positivos)
    • Conjunto dos inteiros negativos(Conjunto dos inteiros negativos)
  4. Conjunto dos números naturais

    Alguns dos Subconjuntos de Conjunto dos números naturais:
  5. Conjunto dos Número Racionais

    • Todo número inteiro é um número racional
    • Todo número decimal exato é um número racional
    • Todo dízima periódica é um número racional
    • Se a dízima periódica é simples(o período está logo após a vírgula): Divide-se o período por tantos noves quantos forem o número de algarismos do período.
    • Se a dízima periódica é composta(o período não está logo após a vírgula):
      Dízima Periódica Composta
  6. Conjunto dos números racionais
    Atenção:

    Como calcular a fração geratriz de uma dízima periódica

  7. Conjunto dos Números Irracionais

    • Raízes inexatas. Ex: Raiz de 2
    • Decimais infinitos e não periódicos. Ex: p = 3,1415926... (PI)
  8. NÃO podem ser representados por uma fração de números inteiros. São eles:
  9. Conjunto dos Números Reais

  10. É´ a união do conjunto dos números RACIONAIS com o conjunto dos números IRRACIONAIS.
    Atenção: Apenas dois tipos de números não são reais, são eles as raízes de í´ndice par de números negativos e o resultado de uma divisão por zero.

    Diagrama:
    Diagrama do Conjunto de Números Reais

Intervalos Reais

Os subconjuntos dos números reais determinados por desigualdades são chamados intervalos.
Para isso vamos considerar dois números reais a e b, com a < b.
Intervalos reais entre a e b
Intervalos reais entre a e b

Observações:
* Entre dois números reais existem infinitos números reais.

Cuidado:
Diferenças entre declarações de conjuntos
Diferentes declarações para o Conjunto de Números Reais
* Os números a e b são os limites do intervalo, sendo a diferença b - a , chamada amplitude do intervalo
* A bolinha vazia indica que o extremo não pertence ao intervalo e a bolinha cheia indica que o extremo pertence ao intervalo.
* Números reais diferentes de a:
Números reais diferentes de a

Operações com Intervalos

  • Intersecção
  • A n B é ointervalo presente tanto em A quanto em B
  • União
  • A ? B é obtido sobrepondo um intervalo ao outro
  • Diferença
  • A - B é formado pelo intervalo que está em A e não está em B
Atenção:
Complementar de A e B




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